Actividad 2 álgebra

Los números complejos

La utilización de los números se utiliza desde hace 400.000 mil años, siempre utilizando los dedos de la mano como origen en los pueblos primitivos al empezar el cultivo de tierra y negocios de animales empezaron con conteos de números y los marcaban en un tronco, nudos, piedras entre otros.

Al paso del tiempo necesitaban representar números cada vez mayores y también tuvieron que inventar símbolos que pudieran identificar. Los primeros sistemas de numeración estaban colocados con símbolos enseguida de otros. Los romanos utilizaban un conjunto de siete símbolos, el sistema romano todavía es utilizado; el sistema de numeración actual fue inventado por los hindúes en el siglo II los números son ideas de cantidad que se encuentran en nuestra mente, así es como representamos una idea de cantidad, nuestro sistema de numeración es decimal. Es un sistema de numeración que no está basado en números continuos con símbolos si no que es posiciona.

FUNCIONES QUE SE LE ASIGNAN A LOS NÚMEROS:

CONTAR: Dar forma en nuestra mente de números a una determinada cantidad.

ORDENAR: A un conjunto determinado de elementos que pertenezca a una categoría que asignemos previamente.

ASIGNAR CÓDIGOS: Para la identificación de individuos o cosas.

EXPRESAR MEDIDAS: Por comparación a una unidad elegida previamente.

EFECTUAR CÁLCULOS MATEMÁTICOS:

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Números naturales N,es el conjunto de los números naturales (1,2,3,4,5,6,7,8…) se caracteriza porque tienen un número infinito de elementos, cada elemento tiene un sucesor excepto el 1 tiene antecesor.

NÚMEROS CARDINALES: Al conjunto de los números naturales se le agrega el elemento numeral cero y representa a los números cardinales.

NÚMEROS ENTEROS Z: El conjunto de números enteros comprende tres conjuntos los enteros negativos, al conjunto de numeral cero y el conjunto de los enteros positivos.

NÚMEROS RACIONALES Q: Los números racionales son todos de la forma a/b o sea fraccionados donde “a”  corresponda a un número entero llamado numerador y “b” corresponde a otro número entero llamado denominador.

NÚMEROS IRRACIONALES  I =Q*= CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONABLES I= conjunto de números decimales infinitos no periódicos, son todos aquellos números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción.

Para la mayoría es aceptado que la numeración algebraica  fue desarrollada en la india y difundida por los árabes en occidente los primeros números conocidos desde hace 7,000 años su método se basaba en agrupar elementos de diez en diez y asignar a cada grupo de diez un símbolos diferentes.

SÍMBOLOS INDO-ARÁBIGOS:

La notación numérica usada en toda la actualidad procede del sistema de numeración hindú ya existentes hacia el siglo VI d.c

El concepto del número 0 que aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema, la asignación de un valor posiciona a cada cifra de manera que un mismo guarismo tenga un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica. Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX y popularizado por los escritos de Mohammed ibn musa al-khwarizmi (h, 780-h,850) autor de primer manual.

El lenguaje universal de los números con respecto al sistema romano el indo-arábigo proporciona indudables ventajas en el plano práctico y conceptual: se hará a partir de una notación sencilla basada en el uso de diez guarismos entre los que se incluye el cero y conceptual mente rica, por la idea del valor posiciona de los números, permite simplificar de forma muy notable las apariciones anti métricas de multiplicación y división sin complicar las de suma y resta resulta adecuado para los desarrollos de las matemáticas

Sistema de numeración no posicional

Uno de los números no posicionales es el Egipto lo porque este era decimal y las unidades de cada una se representaban con un trazo vertical, millares, decenas de millar, centenas de millar y millones con un jeroglífico especifico. En este sistema son aquellos que acumulan los signos de todas las unidades, como vemos una de sus características es que no es posicional. Para escribir 3456 usaban 3 jeroglíficos de unidad de millar, 4 de centena, 5 de decenas y 6 trazos. Desde el tercer milenio a.c ellos usaron un sistema para escribir que viene siendo como lo expliquen arriba (los números jeroglíficos) para representar de los distintas ordenes de unidades, donde usaban tantos como fuera necesario y se podían escribir a izquierda a derecha y de reverso o de arriba Asia abajo, cambiando la orientación de las figuras y al ser independiente el orden se escribía según los criterios estéticos estos solían ir siempre acompañado de los jeroglíficos según corresponda al tipo de objetos, y su cuyo número indicaban, estos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano y por cual el uso quedo reservada las inscripciones monumentales, y en el uso diario sustituido por la escritura hierática forma que permite mayor rapidez y comodidad esto fue un número no posicional que en seguida mostrare otro número no posicional estos son los que más permitidos se usaban los dedos de la mano para representar una cantidad de cinco y después hablaban cuántas manos se tenía y también usaban cuerdas con nudos para representar cantidades y tenían que ver mucho con la coordinación entre los conjuntos y también a quien están los Egipto, sistema de numeración romana, este sistema no es posicional y por eso es muy complejo diseñar algoritmos de uso general como ejemplo, para la suma , la resta, la multiplicación, o la división, y el numero romano XlClX ( 99 decimal) y los numero x lo decimal del inicio hasta el fin de la cifra equivalente siempre al mismo valor sin importar la posición dentro de la cifra, en los números de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base en el sistema de numeración. Si en un sistema de numeración posicional tiene base B significa que disponemos de símbolos diferentes para escribir los números y que B unidades formaran unidad de orden superior, estos son dos números no posicionales el Egipto y el romano.

Los números naturales

Se denomina como número natural a aquel número que permite contar los elementos de un conjunto. El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… son números naturales.

También, los números naturales, nos permiten identificar o bien diferenciar a aquellos elementos presentes en el mismo. Hay quienes consideran al 0 como un número natural pero también hay quienes no y lo apartan de este grupo, la teoría avala mientras que los números lo excluyen. Se los podrá representar en una línea recta y se los ordenará de menor a mayor, por ejemplo, si se toma en cuenta al cero, se los comenzará a anotar después de este y a la derecha del 0 o del 1.

Suma, resta, división y multiplicación es importante señalar que los números que nos ocupan son un conjunto cerrado para las operaciones de suma y de multiplicación, dado que al operar con ellas, el resultado que arroje siempre será otro número natural. Por ejemplo: 3 x 4 = 12 / 20 + 13 = 33.

Mientras tanto, esta misma situación no se aplica a las otras dos operaciones de la división y la resta, ya que el resultado no será un número natural, por ejemplo: 7 – 20 = -13 / 4/7 = 0,57.

Los números enteros

Los números enteros están formados por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

enteros = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva.

Diferencia de los números enteros y racionales

Los números racionales, son de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones, está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad. Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas, a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener. Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por racionales (Q) y los números naturales es aquel número que permite contar los elementos de un conjunto. El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… son números naturales.

Los números irracionales

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número 2√, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π

Diferencia de los números reales y los relacionales

Estos números fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego Pitágoras que vivió entre los años 569 y 470 a.C. Les llamaron irracionales porque iba contra sus ideas.

Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales, estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones.

Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de multiplicación y suma.

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común a/b con numerador a  y denominador b  distinto de cero. El término racional alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q.

Las fracciones equivalentes entre sí número racional son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z.

Los números imaginarios

En los números imaginarios hasta lo que hemos aprendido es imposible obtener raíz de un numero negativo es decir cualquier número real que le saques raíz siempre te tiene que dar un numero positivo. Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución. La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).

La unidad imaginaria, i, es igual a la raíz cuadrada de menos 1,Los números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad y son útiles, y puedes tener que usarlos algún día

Entonces, de acuerdo a esto, no existe realmente un número tal que, multiplicado por sí mismo de como resultado un número negativo. Sin embargo podemos decir que i, la letra que representa a los números imaginarios. Para muchas personas la idea de obtener un número imaginario o sacar la raíz se les hace absurda sin sentido y la ven como una aplicación que no les servirá para nada también hubo un tiempo en que pensaron lo mismo del número cero y de  los números racionales e irracionales hasta que fue aprobado q es útil para unas ramas de la ciencia tecnología y para otras cosas de matemáticas.